Zadanie 3

Kluczowe w zadaniu jest założenie, że $a$ i $b$ są liczbami z przedziału $(0, 1)$. Jaka jest relacja między liczbą $x$ a jej pierwiastkiem kwadratowym $\sqrt{x}$, gdy $0 < x < 1$?

Spróbuj wykorzystać nierówność wynikającą z założenia, aby oszacować od dołu dwa pierwsze składniki po lewej stronie nierówności, czyli $a\sqrt{b}$ oraz $b\sqrt{a}$.

Zsumuj nierówności uzyskane dla $a\sqrt{b}$ oraz $b\sqrt{a}$. Co możesz teraz powiedzieć o lewej stronie wyjściowej nierówności, czyli o sumie $a\sqrt{b} + b\sqrt{a} + 1$?

Pozostaje wykazać, że uzyskane przez Ciebie oszacowanie jest większe niż $3ab$. Sprowadza się to do prostszej nierówności. Wykorzystaj założenia o $a$ i $b$, by ją udowodnić.