Zadanie 2
2012
Etap II
★★★★☆Geometria
Teoria liczb
Trójkąt ostrokątny z całkowitymi bokami i wysokościami
Powiązane zadania:
Zad. 3 (2011)
Treść zadania
Czy istnieje taki trójkąt ostrokątny, w którym długości wszystkich boków i wszystkich wysokości są liczbami całkowitymi? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Twierdzenie Pitagorasa
Konstrukcja przykładu
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Konstrukcja przykładu
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zapisz pole trójkąta na trzy sposoby: . Zauważ, że aby wysokości były całkowite, podwojone pole musi być podzielne przez długość każdego boku.
Wskazówka 2
Spróbuj skonstruować szukany trójkąt, sklejając dwa przystające trójkąty prostokątne o bokach całkowitych (np. trójkąty o bokach 3, 4, 5) wzdłuż jednej z przyprostokątnych.
Wskazówka 3
Zauważ, że trójkąty o bokach 3, 4, 5 można skleić na dwa sposoby: wzdłuż boku 3 lub boku 4. Sprawdź, który z powstałych trójkątów jest ostrokątny i wybierz go do dalszych obliczeń.
Wskazówka 4
Oblicz pozostałe wysokości w wybranym trójkącie. Jeśli otrzymasz ułamki, skorzystaj z podobieństwa: przez jaką liczbę całkowitą wystarczy pomnożyć wszystkie boki trójkąta, aby wysokości również stały się całkowite?