Zadanie 7

Rozłóż wyrażenie $n^3 - 7n$ na czynniki. Sprawdź kilka początkowych dodatnich liczb całkowitych $n$, aby znaleźć przykład spełniający warunki zadania.

Aby iloczyn $n(n^2-7)$ był kwadratem, zbadaj największy wspólny dzielnik (NWD) czynników $n$ i $n^2-7$. Wykaż, że ten NWD może wynosić tylko 1 lub 7.

Rozważ dwa przypadki. Gdy czynniki $n$ i $n^2-7$ są względnie pierwsze, oba muszą być kwadratami. Gdy ich NWD wynosi 7, podstaw $n=7k$ i zbadaj otrzymany iloczyn. Czy jego nowe czynniki też są względnie pierwsze?

W pierwszym przypadku podstawienie $n=a^2$ prowadzi do równania, które można rozwiązać przez rozkład na czynniki. W drugim przypadku, gdy już wiesz, że oba nowe czynniki muszą być kwadratami, zbadaj reszty z dzielenia przez 7.