Zadanie 4

Zauważ, że $100^n = (10^n)^2$. Liczba $\sqrt{100^n + 2}$ jest więc bardzo bliska liczbie całkowitej $10^n$. Twoim celem jest dokładne oszacowanie, o ile jest od niej większa.

Zapisz szukaną liczbę w postaci $10^n + x$, gdzie $x$ jest jej częścią ułamkową. Aby udowodnić tezę, musisz pokazać, że $x$ jest odpowiednio małe. Znajdź równanie, które pozwoli Ci oszacować wielkość $x$.

Wyjdź od równości $\sqrt{100^n + 2} = 10^n + x$. Podnieś ją obustronnie do kwadratu, aby pozbyć się pierwiastka, a następnie uprość wyrażenie, aby otrzymać równanie z niewiadomą $x$.

Otrzymane równanie to $2 = 2 \cdot 10^n x + x^2$. Przekształć je, aby wyznaczyć $x$. Pamiętając, że $x > 0$, oszacuj z góry wielkość $x$, upraszczając mianownik w otrzymanym wyrażeniu.