Zadanie 3
2012
Etap I
★★★☆☆Teoria liczb
Algebra
Wstawianie znaku mnożenia - połowa liczby
Treść zadania
Liczba naturalna jest co najmniej trzycyfrowa. Jeżeli pomiędzy cyfrę setek a cyfrę dziesiątek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy połowę liczby . Wyznacz wszystkie liczby o tej własności.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Zabawy z cyframi
Wzory skróconego mnożenia
Zdobywane umiejętności:
Zabawy z cyframi
Analiza przypadków
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oznaczmy przez liczbę utworzoną przez cyfry liczby stojące przed cyfrą dziesiątek, a przez liczbę dwucyfrową z jej końca. Jak można zapisać wartość liczby za pomocą i ?
Wskazówka 2
Zapisz warunek z zadania jako równanie z niewiadomymi i . Pamiętaj o ograniczeniach: jest liczbą całkowitą dodatnią, a jest liczbą całkowitą z przedziału .
Wskazówka 3
Przekształć otrzymane równanie tak, aby wyznaczyć w zależności od . Zauważysz, że jest wynikiem ułamka. Co musi zachodzić, aby wartość tego ułamka była liczbą całkowitą?
Wskazówka 4
Wyrażenie na można uprościć do postaci . Jakie wartości musi przyjmować mianownik , aby było liczbą całkowitą? Przeanalizuj wszystkie możliwości.