Zadanie 2
2011
Etap III
★★★★☆Geometria
Czworokąt i symetralne
Treść zadania
Dany jest czworokąt wypukły . Punkty i są odpowiednio środkami boków i . Symetralne odcinków i przecinają odcinek odpowiednio w punktach i . Wykaż, że jeżeli , to proste i są równoległe.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Obliczanie kątów
Trapezy i równoległoboki
Dowód nie wprost
Zdobywane umiejętności:
Dowód nie wprost
Trapezy i równoległoboki
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Niech O będzie środkiem odcinka KL. Co warunek mówi o wzajemnym położeniu punktów P i Q względem punktu O?
Wskazówka 2
Wykorzystaj symetrię środkową o środku w O. Skoro obrazem punktu P jest Q, to Q leży na obrazie symetralnej . Przez jaki ważny punkt, związany z odcinkiem CD, przechodzi ten obraz?
Wskazówka 3
Wykaż, że obrazem środka odcinka w symetrii jest środek odcinka . Co to oznacza dla obrazu symetralnej ? Przez jaki punkt ona przechodzi i do jakiego odcinka jest prostopadła?
Wskazówka 4
Punkt leży na dwóch prostych, które obie przechodzą przez środek . Jedna jest prostopadła do , a druga do . Załóż nie wprost, że proste i nie są równoległe. Co to implikuje?