Zadanie 5

2010

Etap III

★★★★☆

Geometria

Kombinatoryka

Punkty wewnątrz koła

Powiązane zadania:

Wewnątrz koła o promieniu 1 znajdują się punkty

A_1

A_2

A_3

, ...,

A_{100}

. Udowodnij, że na brzegu tego koła istnieje taki punkt

P

, dla którego

PA_1 + PA_2 + \ldots + PA_{100} \geqslant 100

Zasada szufladkowa

Okręgi i koła

Nierówności

Zasada szufladkowa

Zasada ekstremalna

Wskazówka 1

Zastanów się: czy musisz wskazać konkretny punkt

P

, czy wystarczy udowodnić, że taki istnieje? Co by było, gdybyś rozważył wiele punktów na brzegu koła naraz?

Wskazówka 2

Pomyśl o punktach leżących na przeciwnych końcach średnicy. Jaką własność ma suma odległości

PA + P'A

dla dowolnego punktu

A

wewnątrz koła, gdy

P

P'

są końcami średnicy?

Wskazówka 3

Skorzystaj z nierówności trójkąta: dla każdego punktu

A_i

wewnątrz koła i każdej średnicy

PP'

zachodzi

PA_i + P'A_i \geqslant PP'

. Ile wynosi długość średnicy?

Wskazówka 4

Zsumuj nierówności dla wszystkich 100 punktów:

(PA_1 + P'A_1) + \ldots + (PA_{100} + P'A_{100}) \geqslant ?

Co to mówi o sumie odległości od

P

lub od

P'

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie