Zadanie 3
2005
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Geometria
99 punktów w kole
Treść zadania
W kole o promieniu wybrano punktów. Dowieść, że wewnątrz koła istnieje punkt odległy od każdego z wybranych punktów o więcej niż .
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Metody polowe
Zdobywane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zastanów się, co oznacza, że punkt jest odległy od wybranego punktu o więcej niż 1. Jakiego obszaru powinniśmy unikać wokół każdego z 99 punktów?
Wskazówka 2
Rozważ zasadę szufladkową w kontekście geometrycznym. Czy 99 małych obszarów może pokryć cały duży obszar? Pomyśl o polach.
Wskazówka 3
Oblicz pole koła o promieniu 10 oraz sumę pól 99 kółek o promieniu 1. Porównaj te wartości.
Wskazówka 4
Skoro suma pól małych kółek jest mniejsza niż pole dużego koła, to musi istnieć punkt niepokryty. Uzasadnij, że taki punkt spełnia warunki zadania.