Zadanie 2
2010
Etap III
★★★★☆Kombinatoryka
Geometria
Trójkąty równoramienne w 99-kącie foremnym
Treść zadania
Dany jest 99-kąt foremny. Wyznacz liczbę trójkątów równoramiennych, których wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami danego wielokąta.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Techniki zliczania
Trójkąt równoramienny
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Techniki zliczania
Podwójne zliczanie
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zastanów się, co oznacza 'równoramienny' w kontekście wielokąta foremnego. Jakie odległości między wierzchołkami wielokąta foremnego są równe? Narysuj mały przykład, np. 9-kąt foremny.
Wskazówka 2
Spróbuj ustalić jeden wierzchołek jako 'główny' (wierzchołek przy którym ramiona się spotykają) i policz, ile trójkątów równoramiennych można zbudować z tym wierzchołkiem. Jak wykorzystać symetrię wielokąta?
Wskazówka 3
Zauważ, że każdy trójkąt równoramienny ma oś symetrii przechodzącą przez wierzchołek główny i środek podstawy. W 99-kącie dla ustalonego wierzchołka głównego, podstawa musi być symetryczna względem tego wierzchołka. Ile jest możliwych długości podstawy?
Wskazówka 4
Dla każdego z 99 wierzchołków jako wierzchołka głównego, policz ile jest symetrycznych par pozostałych wierzchołków tworzących podstawę. Uważaj na podwójne zliczenie - kiedy ten sam trójkąt może być policzony wielokrotnie?