Zadanie 4
2013
Etap III
★★★★☆Geometria
Kombinatoryka
Wierzchołki 100-kąta
Treść zadania
Spośród wierzchołków -kąta foremnego wybrano punktów. Wykaż, że wśród wybranych punktów istnieją trzy będące wierzchołkami trójkąta prostokątnego równoramiennego.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Okręgi i koła
Obliczanie kątów
Zdobywane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Okręgi i koła
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Jaki jest związek między trzema wierzchołkami wielokąta foremnego, które tworzą trójkąt prostokątny równoramienny? Pomyśl o łukach okręgu opisanego, które łączą te wierzchołki.
Wskazówka 2
Trzy takie wierzchołki, np. , można uzupełnić o czwarty wierzchołek, , tworząc bardzo regularny czworokąt. Jaki to czworokąt i jakie ma własności?
Wskazówka 3
Wszystkie 100 wierzchołków 100-kąta można podzielić na rozłączne grupy wierzchołków, z których każda tworzy taki właśnie czworokąt. Ile jest takich grup? Potraktuj je jako szufladki.
Wskazówka 4
Wybrano 51 wierzchołków. Zastosuj Zasadę Szufladkową do tych 51 'przedmiotów' i znalezionych 'szufladek'. Co to oznacza, że co najmniej trzy wybrane wierzchołki trafiły do tej samej szufladki?