Zadanie 2
2009
Etap III
★★★★☆Algebra
Teoria liczb
Liczby na tablicy
Treść zadania
Na tablicy napisano skończenie wiele (i więcej niż jedną) różnych liczb rzeczywistych. Okazało się, że dla każdych dwóch napisanych liczb została napisana także ich suma. Jakie liczby napisano na tablicy? Podaj wszystkie możliwości. Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Zasada ekstremalna
Dowód nie wprost
Wzory skróconego mnożenia
Zdobywane umiejętności:
Zasada ekstremalna
Dowód nie wprost
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Sprawdź, czy zbiór spełnia warunki zadania. A zbiór ? Pamiętaj, że suma każdych dwóch *różnych* liczb ze zbioru musi także do niego należeć.
Wskazówka 2
Niech będzie największą, a najmniejszą liczbą w zbiorze. Co możesz powiedzieć o sumie dwóch największych liczb? A o sumie dwóch najmniejszych?
Wskazówka 3
Suma dwóch największych liczb nie może być większa od największej z nich. Co to mówi o drugiej co do wielkości liczbie? Podobnie, co wynika z analizy sumy dwóch najmniejszych liczb?
Wskazówka 4
Pokaż, że zbiór nie może mieć więcej niż 3 elementy. Rozważ osobno przypadki, gdy zbiór ma 2 lub 3 elementy, i znajdź wszystkie możliwe postacie takich zbiorów.