Zadanie 2
2006
Etap III
★★★★☆Kombinatoryka
Algebra
Liczby w wierzchołkach 100-kąta
Treść zadania
Każdemu wierzchołkowi 100-kąta foremnego trzeba przyporządkować pewną dodatnią liczbę rzeczywistą. Czy możliwe jest takie przyporządkowanie, w którym każda liczba jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, które z nią sąsiadują? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Zasada ekstremalna
Niezmienniki
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Zasada ekstremalna
Dowód nie wprost
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Spróbuj najpierw rozważyć mniejsze wielokąty: trójkąt, czworokąt, pięciokąt. Czy dla któregoś z nich takie przyporządkowanie jest możliwe? Co zauważasz?
Wskazówka 2
Pomyśl o tym, jak zachowuje się ciąg liczb, gdy każda jest różnicą sąsiadów. Czy taki ciąg może być stały? Co się dzieje z największą liczbą w przyporządkowaniu?
Wskazówka 3
Zwróć uwagę na wierzchołek z największą przypisaną liczbą. Skoro jest ona równa wartości bezwzględnej różnicy sąsiadów, co to mówi o tych sąsiadach? Czy mogą być oba mniejsze?
Wskazówka 4
Jeśli jest największą liczbą w przyporządkowaniu, to dla pewnych sąsiadów . Przeanalizuj, kiedy różnica dwóch liczb nie większych niż może być równa .