Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 1

2009
Etap III
★★★★☆
Teoria liczb
Liczba złożona abc−1abc - 1

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2010)
Zad. 3 (2016)
Zad. 2 (2005)
Treść zadania
Dane są takie liczby całkowite a,b,c>1a, b, c > 1, że największy wspólny dzielnik liczb a−1a - 1, b−1b - 1, c−1c - 1 jest większy od 1. Udowodnij, że liczba abc−1abc - 1 jest złożona.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Podzielność
Zdobywane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zastanów się, co oznacza, że NWD(a−1,b−1,c−1)>1(a-1, b-1, c-1) > 1. Jaką liczbę d>1d > 1 możesz wybrać, która dzieli wszystkie trzy różnice?
Wskazówka 2
Skoro dd dzieli a−1a-1, b−1b-1 i c−1c-1, to jak możesz zapisać aa, bb, cc w języku reszt z dzielenia przez dd? Co to mówi o reszcie z dzielenia abcabc przez dd?
Wskazówka 3
Pokaż, że d∣(abc−1)d | (abc - 1). Aby liczba była złożona, musisz jeszcze pokazać, że abc−1abc - 1 jest większa od dd (nie jest równa dd).
Wskazówka 4
Skorzystaj z faktu, że a,b,c>1a, b, c > 1. Oszacuj abc−1abc - 1 z dołu i porównaj z dd. Pamiętaj, że d≤a−1<ad \leq a - 1 < a.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się