Zadanie 5
2009
Etap I
★★★☆☆Teoria liczb
Kombinatoryka
55-kąt foremny z liczbami
Treść zadania
Przy każdym wierzchołku 55-kąta foremnego napisano liczbę całkowitą. Żadna z tych liczb nie jest podzielna przez 5. Wykaż, że istnieją takie dwie liczby i , napisane przy sąsiednich wierzchołkach tego wielokąta, że liczba jest podzielna przez 5.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Zasada szufladkowa
Zdobywane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Zasada szufladkowa
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Warunek, że jest podzielne przez 5, oznacza, że i dają tę samą resztę z dzielenia przez 5. Jakie reszty modulo 5 mogą dawać kwadraty liczb niepodzielnych przez 5?
Wskazówka 2
Wyznacz zbiór możliwych reszt, jakie mogą przyjmować kwadraty liczb przy wierzchołkach. Skoro jest ich niewiele, zastanów się, jak musiałyby być one rozmieszczone na 55 wierzchołkach.
Wskazówka 3
Okazuje się, że są tylko dwie możliwe reszty. Załóżmy, wbrew tezie, że kwadraty liczb przy sąsiednich wierzchołkach zawsze dają różne reszty. Jaki wzór musi tworzyć ciąg tych reszt na obwodzie wielokąta?
Wskazówka 4
Jeśli ciąg reszt musi być naprzemienny, to jaka reszta będzie przy wierzchołku nr 55, jeśli przy pierwszym jest reszta R1? Co to oznacza dla sąsiedztwa wierzchołków nr 55 i nr 1?