Zadanie 7
2008
Etap I
★★★☆☆Geometria
Kombinatoryka
Wielościan z rzutami na płaszczyzny
Powiązane zadania:
Zad. 1 (2005)
Treść zadania
Czy istnieje taki wielościan, którego rzuty prostokątne na pewne trzy płaszczyzny są odpowiednio czworokątem, sześciokątem i ośmiokątem? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Wielościany
Techniki zliczania
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Wyobraź sobie, że świecisz latarką na prosty wielościan, na przykład graniastosłup. Jak kształt jego cienia (rzutu) zależy od kierunku, z którego świecisz?
Wskazówka 2
Spróbujmy skonstruować wielościan spełniający warunki zadania. Graniastosłupy proste mają tę zaletę, że dwa z ich głównych rzutów mają łatwy do przewidzenia kształt.
Wskazówka 3
Rzut graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest taki sam jak podstawa, a rzut na płaszczyznę boczną jest czworokątem. Jaką podstawę graniastosłupa należy wybrać, aby uzyskać dwie z trzech figur z zadania?
Wskazówka 4
Rozważ graniastosłup o podstawie sześciokątnej. Daje on rzuty 6-kątny i 4-kątny. Zastanów się, czy rzutując go pod odpowiednim kątem "z ukosa", można uzyskać 8-kąt, skoro graniastosłup ten ma 12 wierzchołków.