Zadanie 4
2007
Etap III
★★★★☆Kombinatoryka
Logika
Numerowanie wierzchołków 20-kąta
Treść zadania
Czy wierzchołki 20-kąta foremnego można tak ponumerować liczbami , aby użyć wszystkich tych liczb oraz aby dla każdych czterech kolejnych wierzchołków suma ich numerów była mniejsza od 43? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Nierówności
Dowód nie wprost
Zdobywane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Dowód nie wprost
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Ile jest czwórek kolejnych wierzchołków w 20-kącie? Zapisz za pomocą nierówności warunek, który musi spełniać suma numerów w każdej takiej czwórce.
Wskazówka 2
Spróbuj oszacować z góry sumę wszystkich tych 20 czwórek. Wykorzystaj nierówności, które zapisałeś w poprzednim kroku.
Wskazówka 3
Teraz oblicz tę samą sumę (wszystkich 20 czwórek) w dokładny sposób. Zastanów się, ile razy w tej łącznej sumie pojawi się numer z każdego wierzchołka.
Wskazówka 4
Porównaj dokładną wartość sumy z jej górnym oszacowaniem. Co ta równość mówi o sumie numerów w *każdej* pojedynczej czwórce? Czy taka sytuacja jest możliwa?