Zadanie 4
2008
Etap II
★★☆☆☆Kombinatoryka
Teoria liczb
Turniej tenisa stołowego
Treść zadania
W turnieju tenisa stołowego wzięło udział zawodników. Każdy zawodnik rozegrał jeden mecz z każdym innym zawodnikiem, nie było remisów. Czy możliwe jest, aby każdy z uczestników wygrał tę samą liczbę meczów? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Grafy
Podwójne zliczanie
Podzielność
Zdobywane umiejętności:
Grafy
Podwójne zliczanie
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oblicz, ile łącznie meczów rozegrano w turnieju, w którym 50 zawodników gra systemem 'każdy z każdym'.
Wskazówka 2
Zauważ, że w każdym meczu jest dokładnie jeden zwycięzca. Jaka jest więc relacja między całkowitą liczbą meczów a sumą zwycięstw odniesionych przez wszystkich zawodników?
Wskazówka 3
Załóż, że każdy zawodnik wygrał meczów. Wyraź sumę zwycięstw wszystkich zawodników. Jaki warunek musi w związku z tym spełniać całkowita liczba meczów?
Wskazówka 4
Całkowita liczba meczów wynosi . Czy ta liczba jest podzielna przez 50? Jaki wniosek można z tego wyciągnąć na temat istnienia całkowitej liczby zwycięstw ?