Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 5

2007
Etap I
★★★☆☆
Geometria
Okrąg wpisany w czworokąt ABCDABCD

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2005)
Treść zadania
Okrąg o promieniu 11 jest wpisany w czworokąt wypukły ABCDABCD. Okrąg ten jest styczny do boków ABAB, BCBC, CDCD, DADA odpowiednio w punktach KK, LL, MM, NN. Wiadomo, że ∠KLM=4∠AKNoraz∠KNM=4∠BKL.\angle KLM = 4\angle AKN \quad \text{oraz} \quad \angle KNM = 4\angle BKL. Oblicz długość odcinka LNLN.
Zadania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Czworokąty z okręgiem wpisanym
Okręgi i koła
Obliczanie kątów
Zdobywane umiejętności:
Czworokąty z okręgiem wpisanym
Okręgi i koła
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj okrąg o środku OO i zaznacz punkty styczności. Zauważ, że trójkąty takie jak △AKN\triangle AKN i △BKL\triangle BKL są równoramienne. Jakie własności mają czworokąty AKONAKON i BKOLBKOL?
Wskazówka 2
Spróbuj powiązać wszystkie kąty z treści zadania (∠KLM,∠KNM,∠AKN,∠BKL\angle KLM, \angle KNM, \angle AKN, \angle BKL) z kątami środkowymi wyznaczonymi przez punkty styczności, np. ∠KOL\angle KOL czy ∠NOK\angle NOK.
Wskazówka 3
Wykaż, że ∠AKN=12∠NOK\angle AKN = \frac{1}{2}\angle NOK oraz ∠BKL=12∠KOL\angle BKL = \frac{1}{2}\angle KOL. Następnie wyraź kąty wpisane ∠KLM\angle KLM i ∠KNM\angle KNM również za pomocą kątów środkowych.
Wskazówka 4
Użyj danych z zadania, by znaleźć związki między kątami środkowymi i obliczyć sumę ∠LOK+∠KON\angle LOK + \angle KON. Jaki jest kąt ∠LON\angle LON w trójkącie △LON\triangle LON i jaką ma on długość podstawy?
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się