Zadanie 2
2005
Etap I
★★★☆☆Geometria
Czworokąt z wpisanym okręgiem i prostopadłymi przekątnymi
Treść zadania
Dany jest czworokąt wypukły o następujących własnościach:
• w czworokąt można wpisać okrąg,
• przekątne czworokąta są prostopadłe.
Dowieść, że jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.
• w czworokąt można wpisać okrąg,
• przekątne czworokąta są prostopadłe.
Dowieść, że jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Czworokąty z okręgiem wpisanym
Twierdzenie Pitagorasa
Zdobywane umiejętności:
Czworokąty z okręgiem wpisanym
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj czworokąt i jego przekątne. Oznacz odcinki, na które punkt przecięcia dzieli przekątne (np. p, q, r, s). Jakie twierdzenie łączy długości boków w czworokącie, w który można wpisać okrąg?
Wskazówka 2
Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby wyrazić kwadraty długości boków () przez p, q, r, s. Porównaj sumę kwadratów przeciwległych boków z sumą .
Wskazówka 3
Wiesz już, że oraz . Podnieś pierwsze równanie do kwadratu i użyj drugiego, aby znaleźć prostą zależność między iloczynami przeciwległych boków i .
Wskazówka 4
Zależności oraz oznaczają, że para boków jest taka sama jak para . Rozważ dwa przypadki, które z tego wynikają, i pokaż, co każdy z nich oznacza dla odcinków p, q, r, s.