Zadanie 6
2025
Etap I
★★★☆☆Teoria liczb
Liczba z sześcianem i kwadratem
Treść zadania
Dana jest liczba całkowita o tej własności, że liczba jest sześcianem liczby całkowitej, a liczba jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 108.
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Zdobywane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zapisz liczbę w postaci . Rozłóż 108 na czynniki pierwsze i ustal, jakie nierówności muszą spełniać wykładniki i , aby dzieliło się przez 108.
Wskazówka 2
Skorzystaj z faktu, że w rozkładzie na czynniki pierwsze sześcianu wszystkie wykładniki są podzielne przez 3, a w kwadracie – przez 2. Zastosuj to do liczb i .
Wskazówka 3
Przeanalizuj wykładnik przy liczbie 2. Skoro jest kwadratem, to musi być parzyste. Skoro jest sześcianem, to musi dzielić się przez 3. Znajdź najmniejsze takie .
Wskazówka 4
Przeprowadź analogiczne rozumowanie dla wykładnika przy liczbie 3. Sprawdź, czy wyznaczone minimalne wartości i gwarantują podzielność przez 108.