Zadanie 1
2025
Etap I
★★☆☆☆Teoria liczb
Kombinatoryka
Monety dwuzłotówki i pięciozłotówki
Treść zadania
Jaś ma monety o łącznej wartości równej dokładnie 100 złotych, przy czym każda z tych monet jest dwuzłotówką albo pięciozłotówką. Wykaż, że Jaś może spośród tych monet wybrać takie, których łączna wartość jest równa dokładnie 50 złotych.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Równania w liczbach całkowitych
Zdobywane umiejętności:
Równania w liczbach całkowitych
Konstrukcja przykładu
Techniki zliczania
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oznacz liczbę dwuzłotówek przez , a pięciozłotówek przez . Zapisz równanie opisujące łączną wartość monet. Jakie są najprostsze sposoby na uzyskanie 50 zł?
Wskazówka 2
Rozważmy, co by się stało, gdyby Jaś *nie mógł* wybrać monet o wartości 50 zł. Spróbuj doprowadzić to założenie do sprzeczności.
Wskazówka 3
Jeśli nie można uzyskać 50 zł, to w szczególności nie można tego zrobić w najprostszy sposób. Co to założenie mówi o liczbie dwuzłotówek, a co o liczbie pięciozłotówek, które posiada Jaś?
Wskazówka 4
Oszacuj, jaka może być maksymalna łączna wartość monet, jeśli spełnione są warunki na liczby monet i uzyskane w poprzednim kroku. Porównaj wynik ze 100 zł.