Zadanie 4

2024

Etap II

★★★★☆

Teoria liczb

Algebra

Pierwiastki sześcienne

\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{2025}

Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite

a

oraz

b

, że

\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{2025}?

*Uwaga.* Symbol

\sqrt[3]{x}

oznacza *pierwiastek trzeciego stopnia* z

x

, czyli taką liczbę rzeczywistą

y

, że

y^3 = x

Wzory skróconego mnożenia

Dowód nie wprost

Dowód nie wprost

Badanie liczb pierwszych

Wskazówka 1

Uprość prawą stronę równania. Rozłóż

2025

na czynniki pierwsze i wyłącz największy sześcian, jaki się da, przed znak pierwiastka.

Wskazówka 2

Załóż, że

\sqrt[3]{a}

\sqrt[3]{b}

są "wyrazami podobnymi", czyli mają postać

x\sqrt[3]{m}

y\sqrt[3]{m}

, gdzie

m

jest liczbą pod pierwiastkiem z uproszczonej prawej strony.

Wskazówka 3

Podstaw powyższe wyrażenia do równania i je uprość. Jaką zależność otrzymasz dla współczynników

x

y

Wskazówka 4

Poszukaj najprostszych dodatnich liczb całkowitych

x

y

, które spełniają tę zależność. Pamiętaj, że

a

b

muszą być dodatnimi liczbami całkowitymi.

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie