Zadanie 4
2024
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Logika
100 kamieni czerwonych i niebieskich
Treść zadania
Sto kamieni leży w jednym rzędzie. Wśród nich jest 50 kamieni czerwonych i 50 kamieni niebieskich. Wykaż, że można tak usunąć po 25 kamieni każdego koloru, aby pomiędzy dowolnymi dwoma kamieniami tego samego koloru nie pozostał ani jeden kamień innego koloru.
Umiejętności (2)
Wymagane umiejętności:
Zasada ekstremalna
Zdobywane umiejętności:
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zauważ, że aby spełnić warunki zadania, wystarczy znaleźć punkt podziału rzędu na dwie części: w lewej wybierzemy 25 kamieni jednego koloru, a w prawej 25 drugiego.
Wskazówka 2
Sprawdź najprostszy możliwy podział: dokładnie w połowie rzędu (po 50. kamieniu). Zastosuj Zasadę Szufladkową: co możesz powiedzieć o liczbie kamieni czerwonych i niebieskich w pierwszej pięćdziesiątce?
Wskazówka 3
Załóżmy, że w pierwszej połowie jest co najmniej 25 kamieni czerwonych (jeśli nie, to jest niebieskich). Wybieramy te czerwone z lewej strony. Co musimy teraz znaleźć w drugiej połowie?
Wskazówka 4
Skorzystaj z bilansu: łącznie jest 50 kamieni niebieskich. Skoro w pierwszej połowie dominują czerwone (jest ich ), to niebieskich jest tam co najwyżej 25. Ile zatem niebieskich kamieni musi znajdować się w drugiej połowie?