Zadanie 1
2024
Etap I
★★☆☆☆Geometria
Teoria liczb
Punkt wewnątrz kwadratu o boku 20
Treść zadania
Czy wewnątrz kwadratu o boku długości 20 istnieje punkt, którego odległości od boków tego kwadratu są czterema kolejnymi liczbami całkowitymi?
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Układ współrzędnych
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Konstrukcja przykładu
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj kwadrat i zaznacz w nim dowolny punkt . Oznacz odległości od wszystkich czterech boków. Co możesz powiedzieć o sumie odległości od dwóch przeciwległych boków?
Wskazówka 2
Wykorzystaj fakt, że suma odległości punktu od dwóch równoległych boków kwadratu jest stała. Oblicz sumę wszystkich czterech odległości.
Wskazówka 3
Jeśli cztery kolejne liczby całkowite to , wyraź ich sumę w zależności od . Porównaj z sumą odległości od boków.
Wskazówka 4
Sprawdź, czy równanie na sumę czterech kolejnych liczb całkowitych ma rozwiązanie będące liczbą całkowitą. Co to oznacza dla istnienia takiego punktu?