Zadanie 4
2023
Etap II
★★★★☆Geometria
Algebra
Kwadrat podzielony na figury
Powiązane zadania:
Zad. 3 (2022)
Treść zadania
Punkty , , , leżą odpowiednio na bokach , , , kwadratu . Odcinki , , dzielą ten kwadrat na cztery figury o równych polach. Udowodnij, że odcinki , , również dzielą ten kwadrat na cztery figury o równych polach.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Układ współrzędnych
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Układ współrzędnych
Wzory skróconego mnożenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj kwadrat, zaznacz punkty i spróbuj zidentyfikować cztery figury powstałe w pierwszym podziale. Oznacz długości odcinków na bokach, np. i .
Wskazówka 2
Zapisanie pól wszystkich czterech figur i przyrównanie ich prowadzi do skomplikowanych równań. Poszukaj prostszej metody, która odkryje geometryczną własność położeń punktów .
Wskazówka 3
Rozważ sumę pól dwóch sąsiednich figur z pierwszego podziału. Jaki wielokąt tworzą i jakie jest jego pole? Obliczenie pola tego wielokąta doprowadzi Cię do kluczowego odkrycia.
Wskazówka 4
Wykorzystaj odkrytą symetrię położeń punktów. Zidentyfikuj cztery figury z drugiego podziału (z odcinkami ) i oblicz ich pola, aby pokazać, że są równe.