Zadanie 2
2023
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Teoria liczb
Kwadrat rozcięty na prostokąty
Powiązane zadania:
Zad. 5 (2022)
Treść zadania
Kwadrat rozcięto na osiem prostokątów, z których każdy ma cztery boki o całkowitych długościach. Wykaż, że pewne dwa z tych ośmiu prostokątów mają równe pola.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Techniki zliczania
Zdobywane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Techniki zliczania
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Jaka jest łączna suma pól wszystkich ośmiu prostokątów? Zauważ, że pole każdego z nich jest liczbą całkowitą.
Wskazówka 2
Załóż nie wprost, że wszystkie prostokąty mają różne pola. Jaka jest najmniejsza możliwa suma ośmiu różnych, dodatnich, całkowitych pól?
Wskazówka 3
Obliczona minimalna suma pól jest równa polu całego kwadratu. Jakie konkretnie wartości muszą w tej sytuacji przyjmować pola tych ośmiu prostokątów?
Wskazówka 4
Czy każdy z prostokątów o polach z wyznaczonego zbioru może zmieścić się w kwadracie ? Zwróć uwagę na wymiary jednego z nich.