Zadanie 5
2022
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Logika
Tabela z liczbami i
Treść zadania
W każde pole tabeli wpisano jedną z liczb lub . Dla każdego wiersza obliczono sumę wpisanych w niego liczb, a dla każdej kolumny obliczono iloczyn wpisanych w nią liczb. Wykaż, że pewne dwa z ośmiu uzyskanych wyników są równe.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Techniki zliczania
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Wyznacz zbiór wszystkich możliwych sum wierszy oraz zbiór wszystkich możliwych iloczynów kolumn. Wypisz wszystkie liczby, które należą do co najmniej jednego z tych zbiorów.
Wskazówka 2
Załóż nie wprost, że wszystkie 8 wyników (4 sumy i 4 iloczyny) jest różnych. Policz, ile łącznie wartości wypisałeś w poprzednim kroku i porównaj tę liczbę z liczbą wyników.
Wskazówka 3
Dostępnych jest dokładnie 8 wartości: . Aby wyniki były różne, musimy wykorzystać je wszystkie. Rozważ dwa przypadki: gdy wartość jest sumą wiersza (a iloczynem kolumny) i odwrotnie.
Wskazówka 4
W każdym przypadku oblicz sumę wszystkich liczb w tabeli na dwa sposoby: dodając sumy wierszy oraz dodając sumy kolumn (zauważ, że iloczyn kolumny jednoznacznie wyznacza jej sumę).