Zadanie 4
2022
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Teoria liczb
Kolorowanie liczb od do
Treść zadania
Każdą z liczb naturalnych od do pokolorowano albo na niebiesko, albo na czerwono, przy czym każdego z tych kolorów użyto co najmniej raz. Okazało się, że:
- każda liczba czerwona jest sumą pewnych dwóch różnych liczb niebieskich;
- każda liczba niebieska jest różnicą pewnych dwóch liczb czerwonych.
Wyznacz najmniejszą liczbę , dla której takie kolorowanie jest możliwe.
- każda liczba czerwona jest sumą pewnych dwóch różnych liczb niebieskich;
- każda liczba niebieska jest różnicą pewnych dwóch liczb czerwonych.
Wyznacz najmniejszą liczbę , dla której takie kolorowanie jest możliwe.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Techniki zliczania
Konstrukcja przykładu
Zdobywane umiejętności:
Techniki zliczania
Analiza przypadków
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zastanów się, jaki kolor musi mieć liczba 1. Czy może być sumą dwóch różnych dodatnich liczb całkowitych?
Wskazówka 2
Ustal kolor największej liczby . Następnie zapisz dwie kluczowe nierówności dla : jedną wynikającą z tego, że jest różnicą liczb czerwonych, a drugą z tego, że jest sumą liczb niebieskich.
Wskazówka 3
Połącz obie nierówności z poprzedniej wskazówki. Jaką zaskakującą relację otrzymasz pomiędzy najmniejszą liczbą czerwoną () a drugą co do wielkości liczbą niebieską ()?
Wskazówka 4
Jaki kolor musi mieć liczba 2 i co z tego wynika dla ? Użyj tej informacji wraz z relacją z poprzedniej wskazówki, by sprawdzić najmniejsze wartości , dla których kolorowanie może istnieć.