Zadanie 1
2021
Etap III
★★★★☆Geometria
Kombinatoryka
Obwód trójkątów w kwadracie
Powiązane zadania:
Zad. 3 (2005)
Treść zadania
Dany jest kwadrat o boku . Punkty , , , , różne od wierzchołków kwadratu, leżą odpowiednio na odcinkach , , , . Wykaż, że obwód przynajmniej jednego z trójkątów , , , jest mniejszy od .
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Zasada szufladkowa
Dowód nie wprost
Zdobywane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Dowód nie wprost
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oznacz długości odcinków, na które punkty dzielą boki kwadratu, np. . Wyraź obwody czterech narożnych trójkątów za pomocą tych zmiennych.
Wskazówka 2
Załóż nie wprost, że obwód każdego z czterech trójkątów jest nie mniejszy niż 2. Zbadaj, co ta informacja mówi o sumie obwodów tych trójkątów.
Wskazówka 3
Oblicz sumę obwodów czterech trójkątów. Zauważ, że suma długości ich przyprostokątnych jest równa obwodowi kwadratu. Jak ta suma zależy od obwodu wewnętrznego czworokąta ?
Wskazówka 4
Z założenia wynika, że obwód czworokąta musiałby być nie mniejszy niż 4. Wykaż, że to niemożliwe, szacując z góry każdy bok (np. ) przez sumę odpowiednich odcinków na bokach kwadratu.