Zadanie 5
2021
Etap II
★★★★☆Teoria liczb
Kombinatoryka
Punkty na prostej z parzystą sumą odległości
Powiązane zadania:
Zad. 6 (2020)
Treść zadania
Niech będzie liczbą nieparzystą. Na prostej zaznaczono punktów w taki sposób, że odległość między każdymi dwoma z nich jest liczbą całkowitą. Okazało się, że każdy zaznaczony punkt ma parzystą sumę odległości od pozostałych zaznaczonych punktów. Wykaż, że odległość między każdymi dwoma zaznaczonymi punktami jest liczbą parzystą.
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Zdobywane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oznacz punkty współrzędnymi całkowitymi. Zauważ, że odległość między dwoma punktami jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne mają różną parzystość.
Wskazówka 2
Niech oznacza liczbę punktów o współrzędnych nieparzystych. Wtedy to liczba punktów o współrzędnych parzystych.
Wskazówka 3
Wykaż, że suma odległości od punktu parzystego ma taką samą parzystość jak , a od punktu nieparzystego jak .
Wskazówka 4
Skoro wszystkie sumy odległości są parzyste, to czy przy nieparzystym mogą istnieć jednocześnie punkty parzyste i nieparzyste? Co to oznacza dla odległości między punktami?