Zadanie 5

Narysuj starannie figurę. Warunek $AM=BK$ w trójkącie równobocznym silnie sugeruje użycie symetrii lub obrotów. Czy potrafisz znaleźć obrót, który przekształca punkt $M$ na $K$?

Rozważ obrót o $120^\circ$ wokół środka $\triangle ABC$. Pokaż, że obrazem $M$ jest $K$. Niech $L_1$ będzie obrazem $K$ w tym obrocie. Jaki jest kształt $\triangle MKL_1$? Jaka jest zależność między długościami odcinków $AL_1$ i $CK$?

Na boku $AC$ leżą teraz dwa punkty: $L$ z zadania i skonstruowany $L_1$. Wykorzystaj warunek $KM=LM$ oraz własności $\triangle MKL_1$, aby pokazać, że $ML=ML_1$. Co to geometrycznie oznacza dla trójkąta $\triangle MLL_1$?

Skoro $L, L_1$ leżą na prostej $AC$ i $ML=ML_1$, to rzut prostopadły $M$ na prostą $AC$ jest środkiem odcinka $LL_1$. Wyznacz położenie tego rzutu, a następnie użyj tego faktu, by znaleźć związek między $AL+AL_1$ a $AM$. To pozwoli Ci udowodnić, że $CL=2CK$.