Zadanie 7
2020
Etap I
★★★★☆Geometria
Figura z pięciokątów foremnych
Treść zadania
Poniższą figurę, złożoną z czterech pięciokątów foremnych o boku długości , sklejono w przestrzeni w następujący sposób. Najpierw zagięto ją wzdłuż odcinków przerywanych, łącząc pogrubione odcinki, a następnie uformowano w taki sposób, aby kolorowe odcinki utworzyły kwadrat. Wyznacz długość powstałego w ten sposób odcinka .
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Obliczanie kątów
Twierdzenie Pitagorasa
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Wyobraź sobie powstałą bryłę. Zauważ, że z powodu symetrii odcinek jest równoległy do płaszczyzny podstawy. Jego długość jest więc równa odległości między rzutami punktów i na tę płaszczyznę.
Wskazówka 2
Umieść środek kwadratowej podstawy w początku układu współrzędnych. Zadanie sprowadza się do wyznaczenia współrzędnych rzutu punktu na płaszczyznę podstawy i obliczenia jego odległości od początku układu.
Wskazówka 3
Położenie wierzchołka zależy od nachylenia ścian bocznych. To nachylenie jest zdeterminowane przez położenie wierzchołków (nazwijmy je ), które są wspólne dla sąsiednich pięciokątów. Spróbuj wyznaczyć współrzędne jednego z takich wierzchołków .
Wskazówka 4
Położenie punktu można wyznaczyć z jego odległości od trzech wierzchołków podstawy. Podobnie, położenie punktu można wyznaczyć z jego odległości od znanych już punktów, np. wierzchołka podstawy i punktu .