Zadanie 5

Iloczyn czterech dodatnich liczb całkowitych jest potęgą liczby 5. Zapisz te cztery liczby jako $5^{x_1}, 5^{x_2}, 5^{x_3}, 5^{x_4}$. Co wiesz o sumie wykładników $x_1+x_2+x_3+x_4$?

Suma tych czterech liczb musi być równa $2^{1002}$. Zbadaj tę sumę, analizując jej resztę z dzielenia przez jakąś małą potęgę dwójki, na przykład 4 lub 8.

Jaka jest reszta z dzielenia $5^k$ przez 8? Zauważ, że zależy ona od parzystości wykładnika $k$. Co to oznacza dla podzielności sumy $5^{x_1}+5^{x_2}+5^{x_3}+5^{x_4}$ przez 8?

Suma $5^{x_1}+5^{x_2}+5^{x_3}+5^{x_4}$ musi być podzielna przez 8. Ile spośród wykładników $x_i$ musi być nieparzystych, aby tak było? Porównaj ten wniosek z parzystością sumy $x_1+x_2+x_3+x_4=1002$.