Zadanie 5

Przypomnij sobie definicję ułamka skracalnego. Jaki warunek musi spełniać największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika?

Skorzystaj z własności NWD: każdy wspólny dzielnik dwóch liczb dzieli także ich różnicę. Oblicz różnicę licznika i mianownika badanego ułamka.

Zauważ, że NWD$(a+n, b+n)$ musi być dzielnikiem liczby $k = |a-b|$. Jeśli $a \neq b$, to $k$ jest stałą liczbą dodatnią niezależną od $n$.

Zastosuj dowód nie wprost. Załóż, że $a \neq b$ i dobierz $n$ tak, aby liczba $a+n$ dawała resztę 1 z dzielenia przez $k$. Czy wtedy ułamek może być skracalny?