Zadanie 3
2018
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Geometria
101-kąt foremny i prosta
Powiązane zadania:
Zad. 5 (2015)
Treść zadania
Dany jest 101-kąt foremny. Prosta leży w płaszczyźnie tego wielokąta i nie przechodzi przez żaden z jego wierzchołków. Udowodnij, że prosta przecina parzystą liczbę przekątnych danego wielokąta.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Techniki zliczania
Zdobywane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Techniki zliczania
Przekształcenia geometryczne
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Prosta dzieli wierzchołki wielokąta na dwie grupy. Kiedy prosta przecina odcinek łączący dwa wierzchołki? Zastanów się, co to oznacza dla położenia tych wierzchołków względem prostej.
Wskazówka 2
Rozważmy dwa zbiory odcinków przecinanych przez prostą : boki i przekątne. Jeśli pokażemy, że łączna liczba przecinanych odcinków jest parzysta oraz że liczba przecinanych boków jest parzysta, to co powiemy o liczbie przecinanych przekątnych?
Wskazówka 3
Niech po jednej stronie prostej leży wierzchołków, a po drugiej . Ile jest wszystkich odcinków (boków i przekątnych) łączących wierzchołki z przeciwnych stron? Jaka jest parzystość tej liczby, skoro 101 jest liczbą nieparzystą?
Wskazówka 4
Pomyśl o bokach wielokąta jako o zamkniętej łamanej. Ile razy prosta musi przeciąć taką zamkniętą linię? Co to mówi o parzystości liczby przeciętych boków? Połącz ten fakt z poprzednią wskazówką.