Zadanie 5
2015
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Geometria
Podział wierzchołków 100-kąta foremnego
Treść zadania
Spośród wierzchołków 100-kąta foremnego wybrano pewne 50 i pokolorowano je na biało. Pozostałe wierzchołki pokolorowano na czerwono. Udowodnij, że wierzchołki tego 100-kąta można tak podzielić na 25 grup po 4 punkty, aby punkty w obrębie każdej grupy były wierzchołkami prostokąta o dwóch białych i dwóch czerwonych wierzchołkach.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Zasada szufladkowa
Techniki zliczania
Zdobywane umiejętności:
Grafy
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zauważ, że przekątne prostokąta wpisanego w okrąg muszą być średnicami tego okręgu. Zadanie sprowadza się więc do podziału 50 średnic 100-kąta na 25 par.
Wskazówka 2
Podziel wszystkie średnice na trzy typy w zależności od kolorów ich końców: oba białe, oba czerwone lub różnokolorowe.
Wskazówka 3
Zastanów się, jakie pary typów średnic tworzą prostokąt o dokładnie dwóch białych i dwóch czerwonych wierzchołkach. Są tylko dwie takie pasujące kombinacje.
Wskazówka 4
Oznacz liczby średnic każdego typu zmiennymi (np. ). Ułóż równania na łączną liczbę białych i czerwonych wierzchołków, aby odkryć kluczową zależność między i .