Zadanie 6
2018
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Logika
Szachownica
Treść zadania
Pola szachownicy o wymiarach pokolorowano w sposób przedstawiony na rysunku. Czy można wybrać siedem pól czarnych i siedem pól białych tej szachownicy w taki sposób, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie znalazło się dokładnie jedno wybrane pole? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Techniki zliczania
Zdobywane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Pokrycia i parkietaże
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zauważ, że kolor pola zależy od parzystości sumy jego numeru wiersza i kolumny. Skoro wybieramy po jednym polu z każdego wiersza i kolumny, to jakie liczby tworzą zbiór wszystkich numerów wierszy i kolumn wybranych pól?
Wskazówka 2
Rozważ sumę wszystkich 28 współrzędnych (14 numerów wierszy i 14 numerów kolumn) wybranych pól. Wiedząc, że wykorzystujemy każdy numer od 1 do 14 dokładnie raz jako wiersz i raz jako kolumnę, ustal, czy suma jest parzysta czy nieparzysta.
Wskazówka 3
Z drugiej strony spójrz na sumę przez pryzmat kolorów. Zadanie wymaga wyboru 7 pól o parzystej sumie współrzędnych i 7 o nieparzystej. Jaka musiałaby być parzystość sumy , gdybyśmy dodali do siebie te 14 sum?
Wskazówka 4
Porównaj parzystość sumy wyznaczoną na podstawie dostępnych wierszy i kolumn z parzystością wynikającą z wyboru kolorów. Czy taki wybór pól jest możliwy?