Zadanie 5

Załóżmy nie wprost, że teza zadania jest fałszywa. Oznacza to, że jeśli dwie różne liczby mają ten sam kolor, ich różnica nie może być kwadratem liczby całkowitej.

Rozważ kolory czterech liczb: $x$, $x+9$, $x+16$ i $x+25$. Zauważ, że różnice między niektórymi parami tych liczb są kwadratami (np. $9=3^2$, $16=4^2$, $25=5^2$).

Kolor liczby $x$ musi być różny od kolorów liczb $x+9$, $x+16$ i $x+25$. Zatem te trzy liczby muszą być pokolorowane przy użyciu tylko dwóch pozostałych kolorów. Które z nich muszą mieć różne kolory, a które mogą mieć ten sam?

Z poprzedniego kroku wynika, że dla dowolnej liczby $n$ zachodzi $c(n)=c(n+7)$. Oznacza to, że kolorowanie jest okresowe. Wykorzystaj tę własność, aby znaleźć parę liczb w tym samym kolorze, których różnica jest kwadratem.