Zadanie 5

2015

Etap I

★★★☆☆

Teoria liczb

Kombinatoryka

n

-kąt foremny z sumami parzystymi

W wierzchołkach

n

-kąta foremnego rozmieszczono liczby

1, 2, \ldots, n

w taki sposób, że suma liczb znajdujących się w każdych trzech kolejnych wierzchołkach

n

-kąta jest parzysta. Wyznacz wszystkie liczby naturalne

n \geq 3

, dla których takie rozmieszczenie jest możliwe.

Parzystość i nieparzystość

Reszty z dzielenia

Niezmienniki

Analiza przypadków

Wskazówka 1

Suma trzech liczb jest parzysta. Jakie kombinacje parzystości (P - parzysta, N - nieparzysta) tych trzech liczb spełniają ten warunek?

Wskazówka 2

Warunek dotyczy *każdych* trzech kolejnych wierzchołków. Porównaj sumę dla wierzchołków

(a_i, a_{i+1}, a_{i+2})

z sumą dla wierzchołków

(a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3})

Wskazówka 3

Obie sumy z poprzedniej wskazówki są parzyste. Co wynika z tego faktu dla parzystości liczb

a_i

a_{i+3}

? Jaki wzór parzystości musi panować na obwodzie wielokąta?

Wskazówka 4

Wyprowadzony wzór na parzystości narzuca silny warunek na

n

. Policz, ile liczb parzystych i nieparzystych potrzeba do ułożenia takiego wzoru, a ile jest dostępnych w zbiorze {

1, 2, \ldots, n

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie