Zadanie 5
2017
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Logika
Kolorowanie liczb całkowitych na trzy kolory
Treść zadania
Każdą liczbę całkowitą należy pokolorować na jeden z trzech kolorów, w tym czerwony. Należy to uczynić w taki sposób, by każda liczba, którą można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb o różnych kolorach miała kolor czerwony. Czy da się zrealizować takie kolorowanie, używając wszystkich trzech kolorów? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Analiza przypadków
Konstrukcja przykładu
Zdobywane umiejętności:
Dowód nie wprost
Zasada szufladkowa
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Nazwijmy kolory: czerwony (C), niebieski (N) i zielony (Z). Zgodnie z treścią, muszą istnieć liczby w każdym z tych kolorów. Jaki kolor musi mieć suma dwóch liczb o różnych kolorach, np. niebieskiej i zielonej?
Wskazówka 2
Załóż, że takie kolorowanie istnieje, aby znaleźć sprzeczność. Jest jedna szczególna liczba całkowita, która ma unikalną własność w dodawaniu. Zastanów się, jaki może mieć kolor.
Wskazówka 3
Jaki kolor może mieć liczba 0? Rozważmy przypadek, gdy 0 jest czerwone. Weź dowolną liczbę , która nie jest czerwona. Jaki kolor, zgodnie z warunkami zadania, musi mieć suma ?
Wskazówka 4
Pozostał do zbadania przypadek, gdy 0 nie jest czerwone (np. jest niebieskie). Skoro muszą istnieć liczby we wszystkich trzech kolorach, to weź liczbę w trzecim kolorze (zielonym) i zbadaj jej sumę z zerem.