Zadanie 5
2016
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Geometria
Wielościan wypukły ze krawędziami
Treść zadania
Czy istnieje taki wielościan wypukły, że każdy kąt wewnętrzny jego każdej ściany jest prosty lub rozwarty i który ma dokładnie krawędzi? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Wielościany
Obliczanie kątów
Zdobywane umiejętności:
Wielościany
Podwójne zliczanie
Techniki zliczania
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zadanie ma dwa główne warunki. Co wynika z faktu, że każdy kąt ściany jest ? Zastanów się, co to oznacza dla liczby boków ścian, a także dla kątów spotykających się w jednym wierzchołku.
Wskazówka 2
Przeanalizuj najpierw, ile co najmniej boków musi mieć ściana wielościanu. Następnie rozważ, ile ścian może spotykać się w jednym wierzchołku, pamiętając o własnościach wielościanów wypukłych.
Wskazówka 3
Suma kątów ścian zbiegających się w wierzchołku wielościanu wypukłego jest mniejsza od . Co możesz wywnioskować o liczbie krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka, skoro każdy kąt jest nie mniejszy niż ?
Wskazówka 4
Wiesz już, ile krawędzi musi wychodzić z każdego wierzchołka. Wykorzystaj tę informację, aby powiązać całkowitą liczbę wierzchołków z całkowitą liczbą krawędzi i sprawdź, czy to możliwe.