Zadanie 2

Narysuj trapez $ABCD$ z podstawami $AB$ i $CD$. Zaznacz, że jego przekątne $AC$ i $BD$ są prostopadłe. Celem jest wykazanie nierówności $AB+CD \le AD+BC$.

Sumę podstaw $AB+CD$ trudno jest analizować bezpośrednio. Spróbuj tak przekształcić figurę, aby otrzymać jeden odcinek o długości $AB+CD$, najlepiej jako bok w nowym, pomocniczym trójkącie.

Przesuń równolegle przekątną $BD$ o wektor $\vec{DC}$. Niech obrazem punktu $B$ będzie punkt $E$. Wykaż, że trójkąt $ACE$ jest prostokątny i znajdź związek między kwadratem sumy podstaw a kwadratami długości przekątnych.

Porównaj kwadraty obu stron tezy. Wykorzystaj zależność z poprzedniej wskazówki. Wyraź kwadraty długości ramion za pomocą odcinków, na które dzieli przekątne ich punkt przecięcia, i dokończ dowód.