Zadanie 1
2016
Etap II
★★★☆☆Kombinatoryka
Algebra
Teoria liczb
Tablica z sumami będącymi potęgami
Treść zadania
W każde pole tablicy należy wpisać pewną liczbę całkowitą w taki sposób, aby sumy liczb w każdej kolumnie i w każdym wierszu były potęgami liczby o wykładniku całkowitym nieujemnym. Czy można to zrobić w taki sposób, aby każde dwie z tych ośmiu sum były różne? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (7)
Wymagane umiejętności:
Konstrukcja przykładu
Dowód nie wprost
Zdobywane umiejętności:
Dowód nie wprost
Podwójne zliczanie
Ciągi liczbowe
Reszty z dzielenia
Techniki zliczania
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zauważ, że suma wszystkich liczb w tablicy jest równa sumie sum wierszy, a także sumie sum kolumn. Jaki warunek muszą więc spełniać te dwie czwórki liczb?
Wskazówka 2
Mamy osiem różnych potęg dwójki. Zadanie sprowadza się do sprawdzenia, czy można je podzielić na dwie grupy (sumy wierszy i sumy kolumn) mające taką samą sumę całkowitą.
Wskazówka 3
Niech będzie największą liczbą w tym zbiorze. Przypomnij sobie własności systemu dwójkowego: czy suma dowolnej liczby różnych potęg dwójki mniejszych od może osiągnąć wartość ?
Wskazówka 4
Liczba musi należeć do jednej z grup (np. sum wierszy). Druga grupa (sumy kolumn) zawiera wyłącznie mniejsze potęgi. Czy w takiej sytuacji sumy obu grup mogą być równe?