Zadanie 7

Oznacz rzut wierzchołka $S$ na podstawę jako $P$. Wyraź kwadraty długości krawędzi bocznych (np. $AS^2$), korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych o przyprostokątnej będącej wysokością ostrosłupa.

Sama suma długości $AS+CS$ jest trudna do geometrycznej interpretacji. Spróbuj zamiast tego zbadać relację między sumami kwadratów przeciwległych krawędzi: $AS^2+CS^2$ oraz $BS^2+DS^2$.

Skorzystaj z własności prostokąta: dla dowolnego punktu $P$ suma kwadratów odległości do przeciwległych wierzchołków jest stała ($PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2$). Jak ta własność przenosi się na krawędzie boczne ostrosłupa?

Dysponujesz teraz dwoma warunkami: $AS+CS = BS+DS$ oraz $AS^2+CS^2 = BS^2+DS^2$. Co z tego wynika dla zbiorów liczb $\{AS, CS\}$ i $\{BS, DS\}$? Sprawdź, czy taki wniosek jest zgodny z informacją, że wszystkie krawędzie mają różne długości.