Zadanie 5
2014
Etap II
★★★★☆Geometria
Kombinatoryka
Trójkąt równoboczny z punktem
Powiązane zadania:
Zad. 3 (2013)
Treść zadania
Dany jest trójkąt równoboczny . Niech będzie punktem leżącym wewnątrz tego trójkąta. Proste , , przecinają odcinki , , odpowiednio w punktach , , . Czy można punkt wybrać w taki sposób, aby dokładnie cztery spośród trójkątów , , , , , miały równe pola? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Trójkąt równoramienny
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Analiza przypadków
Techniki zliczania
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zauważ, że trójkąty i mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka . Kiedy ich pola są równe? Wywnioskuj, na jakiej prostej musi wtedy leżeć punkt .
Wskazówka 2
Mamy trzy pary trójkątów przylegających do boków (np. para i ). Uzasadnij, że jeśli 4 trójkąty mają równe pola, to przynajmniej jedna taka para musi składać się z trójkątów o równych polach.
Wskazówka 3
Wniosek z poprzedniego kroku ogranicza położenie punktu do osi symetrii trójkąta. Wówczas 6 pól przyjmuje tylko trzy wartości (każda występuje dwukrotnie). Oznaczmy je jako .
Wskazówka 4
Aby dokładnie 4 pola były równe, musiałoby zachodzić np. . Wyraź te pola w zależności od położenia punktu na osi i sprawdź, czy równość dwóch wartości nie wymusza automatycznie równości wszystkich trzech.