Zadanie 3
2014
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Teoria liczb
Sześcian z liczbami na ścianach
Powiązane zadania:
Zad. 3 (2013)
Treść zadania
Na każdej ścianie sześcianu napisano pewną liczbę całkowitą. Następnie każdej krawędzi sześcianu przyporządkowano sumę liczb z dwóch ścian, pomiędzy którymi znajduje się dana krawędź. Udowodnij, że wśród dwunastu liczb przyporządkowanych krawędziom są co najmniej cztery liczby parzyste.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Analiza przypadków
Wielościany
Zdobywane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Analiza przypadków
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zamiast analizować cały sześcian i ułożenie ścian, skup się na pojedynczym wierzchołku. Spotykają się w nim trzy ściany z pewnymi liczbami . Jakie sumy są przypisane do trzech krawędzi wychodzących z tego wierzchołka?
Wskazówka 2
Oblicz sumę liczb przypisanych tym trzem krawędziom przy wierzchołku. Czy wynik może być liczbą nieparzystą?
Wskazówka 3
Skoro suma trzech liczb na krawędziach przy wierzchołku jest zawsze parzysta, to ile co najmniej liczb parzystych musi być w tej trójce? Rozważ możliwe układy parzystości (np. trzy nieparzyste, jedna parzysta i dwie nieparzyste itd.).
Wskazówka 4
Sześcian ma 8 wierzchołków. Zsumuj minimalną liczbę krawędzi parzystych wychodzących z każdego wierzchołka, a następnie uwzględnij to, że każda krawędź łączy dwa wierzchołki (została policzona dwukrotnie).