Zadanie 4
2013
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Geometria
Trójkolorowy trójkąt bez punktów wewnątrz
Treść zadania
Na płaszczyźnie zaznaczono punktów (), z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Każdy z tych punktów pomalowano na jeden z trzech kolorów, przy czym każdego koloru użyto przynajmniej raz. Udowodnij, że istnieje taki trójkąt o wierzchołkach w zaznaczonych punktach, którego każde dwa wierzchołki mają różne kolory i do wnętrza którego nie należy żaden zaznaczony punkt.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Zasada ekstremalna
Analiza przypadków
Grafy
Zdobywane umiejętności:
Zasada ekstremalna
Konstrukcja przykładu
Punkty szczególne trójkąta
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Istnienie co najmniej jednego punktu z każdego z trzech kolorów gwarantuje, że można utworzyć trójkąt trójkolorowy. Zastanów się, co by się stało, gdyby taki trójkąt zawierał w środku inny zaznaczony punkt.
Wskazówka 2
Spośród wszystkich możliwych trójkątów trójkolorowych wybierzmy jeden o szczególnej własności - na przykład o najmniejszym możliwym polu. Czy taki trójkąt może być tym, którego szukamy?
Wskazówka 3
Załóżmy, że wybrany trójkąt o najmniejszym polu, nazwijmy go , nie jest pusty i zawiera wewnątrz punkt . Jakiego koloru musi być punkt ?
Wskazówka 4
Punkt ma ten sam kolor co jeden z wierzchołków , powiedzmy . Czy możesz użyć punktu do skonstruowania nowego trójkąta trójkolorowego? Porównaj jego pole z polem .