Zadanie 6

Niech punkty $T_{AB}, T_{BC}, \dots$ będą punktami styczności sfery ze ścianami bocznymi. Co istnienie sfery wpisanej mówi o położeniu jej środka względem sąsiednich ścian, np. $SAB$ i $SDA$?

Środek sfery leży na płaszczyźnie dwusiecznej kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami. Jaka symetria jest związana z taką płaszczyzną? Co robi ona ze wspólną krawędzią tych ścian?

Odbicie względem płaszczyzny dwusiecznej przy krawędzi $SA$ przekształca sferę na siebie, a ścianę $SDA$ na $SAB$. Co z tego wynika dla trójkątów $\triangle SAT_{DA}$ i $\triangle SAT_{AB}$?

Przystawanie trójkątów implikuje równość pewnych kątów przy wierzchołku $S$. Wyraź kąty $\angle ASB, \angle BSC, \dots$ jako sumy mniejszych kątów i zakończ dowód.