Zadanie 5
2012
Etap I
★★★☆☆Geometria
Wysokości trójkąta i kwadraty
Treść zadania
Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego . Po zewnętrznej stronie trójkąta zbudowano kwadrat oraz prostokąty i , przy czym oraz . Udowodnij, że suma pól prostokątów i jest równa polu kwadratu .
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Twierdzenie Pitagorasa
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Twierdzenie Pitagorasa
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj trójkąt ostrokątny z wysokościami i . Zapisz tezę zadania w postaci równania, używając pól odpowiednich figur. Pola prostokątów wyraź jako iloczyny długości boków.
Wskazówka 2
Twoim celem jest wykazanie, że suma jest równa . Spróbuj przekształcić każdy z tych iloczynów na wyrażenie związane z bokiem . Pomocne mogą okazać się trójkąty podobne.
Wskazówka 3
Aby znaleźć odpowiednie trójkąty podobne, dorysuj trzecią wysokość w trójkącie . Zastanów się, które z nowo powstałych trójkątów prostokątnych są do siebie podobne.
Wskazówka 4
Poszukaj par trójkątów prostokątnych, które mają jeden wspólny kąt ostry. Zapisz proporcje wynikające z podobieństwa trójkątów i oraz trójkątów i .