Zadanie 2
2011
Etap II
★★★☆☆Kombinatoryka
Teoria liczb
Turniej 6 drużyn z remisami
Treść zadania
W pewnym turnieju uczestniczyło drużyn. Każda drużyna rozegrała z każdą inną dokładnie jeden mecz. Za zwycięstwo w meczu drużyna otrzymywała punkty, za porażkę punktów, a za remis punkt. Po turnieju okazało się, że suma punktów zdobytych przez wszystkie drużyny wynosi . Wykaż, że istnieją takie cztery drużyny, z których każda co najmniej jeden raz zremisowała.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Parzystość i nieparzystość
Techniki zliczania
Zdobywane umiejętności:
Zasada szufladkowa
Parzystość i nieparzystość
Reszty z dzielenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Ile łącznie meczów rozegrano w turnieju? Zauważ, że w przypadku rozstrzygnięcia drużyny zdobywają łącznie 3 punkty, a w przypadku remisu tylko 2 punkty.
Wskazówka 2
Oblicz, ile wynosiłaby suma punktów wszystkich drużyn, gdyby nie było żadnych remisów. Porównaj ten wynik z liczbą i ustal, ile dokładnie meczów zakończyło się remisem.
Wskazówka 3
Spróbuj dowodu nie wprost. Załóż, że w remisach brały udział łącznie co najwyżej 3 drużyny. Oznacza to, że wszystkie remisy musiały odbyć się między nimi.
Wskazówka 4
Ile maksymalnie meczów mogą rozegrać między sobą 3 drużyny? Porównaj ten wynik z wyznaczoną wcześniej liczbą remisów, aby uzyskać sprzeczność.